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∅ Questo è il niente.

{∅} Questa è una scatola informe che contiene il niente, ovvero una scatola vuota.

{∅, {∅}} Questa è una scatola che contiene il niente e una scatola vuota, ovvero che contiene solo una scatola vuota.

Reiterando il processo all’infinito, possiamo mettere una scatola dentro l’altra infinite volte, senza che nessuna di esse contenga effettivamente qualcosa che sia diverso da scatole che contengono altre scatole, una scatola vuota o il niente. A questo punto, agli occhi di chi identifica la scatola con il suo contenuto, appare naturale che questa infinita serie di scatole non contenga nulla. Tuttavia essa è molto utile, perché costituisce il fondamento della matematica moderna. Più precisamente, con i concetti di “niente”, di “scatola” e di “contiene” si possono assiomatizzare i numeri, come segue:

Etc.

Il bello è che queste scatole – e di conseguenza i numeri – sono tutte ordinate: sappiamo che 0 è più piccolo di 1, poiché la scatola dell’1 contiene il nulla. Quindi, nel nostro scatolame, dire 1 < 2 vuol dire che la scatola del 2 contiene quella dell’1.

Il tipo di costruzione che genera la sequenza di cui sopra può essere portata avanti molto “oltre” definendo in questo modo quelli che Cantor chiamava ordinali transfiniti. Supponiamo di aver definito tutti i numeri naturali nel modo suddetto e facciamo un ulteriore “passo”: consideriamo – di nuovo – la scatola contenente tutte le scatole definite fino ad ora e la chiamiamo ω:

ω:={0,1,2,3,…}

Omega è anch’esso naturalmente dotato di una struttura ordinata come i suoi predecessori (l’ordinamento è dato, come prima, dall’inclusione: in poche parole Omega contiene tutti gli insiemi precedenti e per questo possiamo dire che è “più grande” di loro). Se prima avevamo gli ordinali finiti ω è il primo ordinale transfinito.

Ma possiamo andare ancora avanti: definiamo

ω+1:={0,1,2,3,…,ω}

che è ancora una scatola totalmente ordinata, ovvero confrontabile con tutte le altre scatole (prese due scatole qualunque, da 0 a  ω+1, posso subito confrontarle e dire qual’è più grande dell’altra) , poi

ω+2:={0,1,2,3,…,ω,ω+1}

ω+3:={0,1,2,3,…,ω,ω+1,ω+2}

…

Otteniamo così una nuova sequenza infinita. Osserviamo che anche la scatola degli ordinali che abbiamo costruito finora è dotata naturalmente di una struttura di scatola ordinata, più precisamente abbiamo:

1<2<3<4<…<ω<ω+1<ω+2<ω+3<…

Di nuovo possiamo andare “oltre” e dare un nome all’insieme di tutti questi ordinali:

2ω=ω+ω:={0,1,2,3,…,ω,ω+1,ω+2,ω+3,…}

E si può andare avanti come prima considerando ad ogni passo l’insieme di tutti oggetti costruiti fino a quel momento… ma vale la pena soffermarsi un attimo ad analizzare la sequenza di scatole che stiamo costruendo.

Nello schema esposto fin qui si procede alternativamente in due modi:

1. dato un ordinale α precedentemente costruito, si aggiunge al suo interno un nuovo elemento dato da α stesso. La nuova scatola è quindi , è una scatola ordinata ed è chiamata ordinale successore di α;
2. data una sequenza ordinata e infinita di ordinali α₁,α₂,α₃,…α_n,…. di cui il successivo include il precedente si costruisce una nuova scatola come unione delle scatole della sequenza . La scatola  così definita si chiama ordinale limite della sequenza {α_n}.

Con queste due regole si può continuare la sequenza definendo gli ordinali

3ω:={0,1,2,3,…,ω,ω+1,ω+2,ω+3,…,2ω, 2ω+1, 2ω+2, 2ω+3, …}

4ω:={0,1,2,3,…,ω,ω+1,ω+2,ω+3,…,2ω, 2ω+1, 2ω+2, 2ω+3, …,3ω, 3ω+1, 3ω+2, 3ω+3, …}

…

nω:={0,1,2,3,…,ω,ω+1,ω+2,ω+3,…,2ω, 2ω+1, 2ω+2, 2ω+3, …,3ω, 3ω+1, 3ω+2, 3ω+3, …,(n-1)ω,(n-1)ω+1,(n-1)ω+2,…}

…

ω×ω=ω²:={1,2,3,…,ω,…,2ω,…,3ω,…,nω,………}

Questo ci da una precisa idea di cosa siano i numeri, e di come li si possa contare. Ma ciò che è più divertente, con procedimenti più raffinati si possono contare anche gli infiniti, arrivando a stabilire come un infinito sia più o meno infinito di un altro. :D

Non sto a dilungarmi su come si sommino gli ordinali, vi basti sapere che succedono cose strane, del tipo: 4 + ω = ω, ma ω + 4 è diverso da ω :D, ma il concetto che con questo lungo preambolo mi premeva di esprimere, è che le scatole, quindi, sono responsabili di uno dei più grandi divari tra Matematica e Filosofia. La Filosofia infatti tende a concepire l’infinito come un assoluto totalizzante, un qualcosa che “includa tutto”, cosa che la Matematica non fa: Ci sarà sempre un infinito “più infinito” che includerà l’infinito di partenza. Ma ciò che è davvero infinito in questa trattazione è la potenzialità umana. Come spiegavo a Trudi l’altra volta, questo è un tipico esempio di “problema dall’infinita Potenza (intesa in senso aristotelico)”: Sebbene il processo in se non sia Atto, perché non concreto, inattuabile, completamente astratto e fine al nulla, esso da la possibilità di estendersi in ogni modo e in ogni direzione, potendo essere generalizzato o localizzato a seconda del contesto, e utilizzato come meglio ci pare. Eppure, nel momento stesso in cui lo utilizziamo, ne distruggiamo l’infinita Potenza, perché abbiamo operato una scelta: nel momento in cui cominciamo a contare abbiamo distrutto una conquista immensa: sapendo che prima o poi dovremo fermarci, abbiamo escluso dalla nostra visione quella totalizzante idea di infinito che finalmente, con l’aiuto delle nostre scatole, eravamo riusciti a concepire. Questo sistema estende le potenzialità della mente oltre ogni limite, rendendo immaginabile (e nitidamente, per giunta), l’inattuabile.